FőoldalHivatalosÉletünkMúltunkSzabadidős helyszíneinkKapcsolatFelvételiElektronikus naplóÉtkezési digitnapló
Főoldal  Életünk  Írások

Írások

Ottlik és a matematika

Ottlik Géza 1979-ben közölte „A regényről” című, „Regény és valóság” alcímet viselő tanulmányát, mely már 1965-ben foglalkoztatta, olyannyira, hogy előadást is tartott a témáról; maga az írás az 1969-1970 évmegjelölést tartalmazza. Szerette volna jobban kidolgozni és úgy közreadni, de végül ez elmaradt és csak lábjegyzetekkel ellátva jelentette meg.

Ez a cikk arra vállalkozik, hogy Ottlik matematikai utalásait és a szövegében lévő áthallásokat kifejtve hozzájáruljon tanulmányának teljesebb megértéséhez.

Kelecsényi László „A szabadság enyhe mámora” című könyvében kifejti, hogy Ottlikot foglalkoztatta Kurt Gödel osztrák matematikus munkássága. Tanulmányának elején Ottlik felteszi a kérdést: „Mi a regény?, Miről szól a regény?” Gondolatai a matematikában különösebben nem járatos olvasó számára is érthetőek, mégis kérdésfelvetése, szóhasználata nemcsak formai hasonlóságot vagy távoli párhuzamot mutat Gödel gondolatvilágával, hanem biztosra veszem, hogy Ottlikot komolyan inspirálta a XX. század első felének egyedülálló matematikatörténeti kísérlete.

A folyamat kiindulópontja egy játékosan megfogalmazott problémás helyzet: a falu borbélya borotválja mindazokat, akik nem maguk borotválkoznak, és nem borotválja azokat, akik maguk borotválkoznak. Igen ám, de mi a helyzet a borbéllyal? Ha maga borotválkozik, akkor nem a borbély borotválja, ha pedig nem maga borotválkozik, akkor a borbély borotválja.

Ezt még tekinthetnénk egy nem túl komoly szójátéknak, de a fenti történet a közérthető megfogalmazása a halmazelméletben jelentkező Russel-paradoxonnak, melyet Bertrand Russel (1872-1970) filozófus és matematikus írt le, és ami arra a kérdésre irányította a matematikusok figyelmét, hogy van-e ellentmondás a matematikában.

Mivel Ottlik foglalkozik azzal a kérdéssel, hogy hogyan épül fel a regény, hasznos megvizsgálnunk, hogy hogyan épül fel a matematika? A matematika első szavai hétköznapi kifejezések: pont, egyenes, sík, halmaz, vagy éppen a számok: három, nyolc, tíz[1]. Ezeket a kifejezéseket a matematika nem magyarázza meg, alapfogalomnak nevezi őket, és abban az értelemben használja, ami a mindennapi életben az emberek fejében él. Az alapfogalmakra vonatkozóan a matematika egyszerű állításokat fogalmaz meg, melyeket nem bizonyít, és amelyek általában a mindennapi élet tapasztalatát fejezik ki. Például „két pontra egyetlen egyenes illeszkedik”, vagy 3-szor 8 ugyanaz, mint 8-szor 3. Ezeket az állításokat axiómáknak nevezzük. A matematika kiépülésének következő szintjét a tételek alkotják, vagyis az axiómákból logikusan következő állítások. A tételeknek az axiómákból való logikus levezetése a bizonyítás. Így például a szorzás tényezőinek felcserélhetősége axióma, az pedig, hogy „a 3 osztója a 24-nek”, az axiómákból logikusan levezethető tétel.

A matematika szépségéhez és játékosságához az is hozzájárul, hogy minél kevesebb axiómából vezeti le tételeit, és játszik azzal, hogy mit tekint axiómának. Például a geometria euklideszi axiómáiból egynek a megváltoztatása úgy tudományterületet nyitott meg, a Bólyai-geometriát. Hogy miszerint választják meg a matematikusok az axiómákat, Gauss azt válaszolja: aszerint, hogy mi lesz érdekes, miből alakul ki egy szép tudományterület. Az alapfogalmak és axiómák tehát egy játék kellékei és szabályai. Hogy Ottlik érdeklődési köréből hozzunk hasonlatot: a bridzs alapfogalmainak a francia kártya lapjai felelnek meg, axiómának például az a szabály, hogy színre színt kell tenni, de nem kötelező a felülütés, és ha nincs lap a hívott színből, nem kell adut tenni. Miért ez a szabály? Mert így lesz érdekes a játék. Ha adut kell tenni, amikor nincs lap a hívott színből, akkor az a játék már nem bridzs, hanem például snapszer.

A matematikában az értelmes állítások vagy igazak, vagy hamisak, féligazság nincs. Fekete-fehér világ, mégis hallatlan fantázia van benne. Éppen ezért vonzó: unalmas lenne, ha csak precíz lenne fantázia nélkül; a fantázia precízség nélkül pedig légvár. Precízség és fantázia együtt. Tételei megingathatatlanok, viszont ezek a tételek az axiómarendszerből való levezetés miatt igazak. Nem azért igazak, mert megegyeznek a mindennapi tapasztalattal. A matematika az emberiség logikai játéka. Külön érdekesség, hogy a matematika vált a természettudományok, különösen a fizika „nyelvévé”, hogy nagyban hozzájárul a természeti folyamatok leírásához és a technikai fejlődéshez. Filozófiai kérdés, hogy a matematikus megalkotja az axiómát és ezzel létrehoz egy új tudományterületet, vagy felfedezi az axiómákat?

Mivel a matematika fekete-fehér igazságok világa, ezért kulcskérdés, hogy lehet-e benne ellentmondás. Előfordulhat-e hogy egy állítás és az ellenkezője egyszerre igaz legyen? Ha ilyen elfordul, az a matematika egész logikus építményének az összeomlását jelenti. Hogyhogy ilyen veszélyes az ellentmondás a matematika egészére nézve? A matematika néhány – nem túl sok – bizonyítási módszert használ: levezetés (dedukció), teljes indukció, indirekt bizonyítás, skatulyaelv (szoros kapcsolatban van az indirekt bizonyítással) és a végtelen leszállás módszere. Ezek közül az indirekt bizonyítás módszere abban áll, hogy egy állításnak megfogalmazzuk a tagadását, ebből kiindulva ellentmondásra jutunk, és ezzel az eredeti állításról beláttuk, hogy igaz. Ha van egyetlen olyan állítás, aminek a tagadása is igaz, akkor az indirekt bizonyítás módszerével bármilyen állítást be lehet bizonyítani; azt is, aminek nincs közvetlen összefüggése az ellentmondással.

Ezért a matematikusok David Hilbert vezetésével azt a célt tűzték ki maguk elé 1900-ban, hogy a matematika egyes területeinek axiómarendszerét olyan pontosan állítsák fel, hogy ne fordulhasson elő ellentmondás. Ez volt az „erlangeni program”. Ennek a több évtizedes folyamatnak a sikereit és részleteit mellőzve tekintsük azt a kérdést, hogy be lehet-e bizonyítani a matematika ellentmondás-mentességét? Vajon hogy nézhet ki ez a matematikai bizonyítás? Kurt Gödel osztrák matematikus ennek érdekében felállította a matematikai állítások szigorú formulákban való megfogalmazásának szabályait (formális logika). Olyan eljárás ez, mint amit Ottlik az irodalom gödeizálásának nevez, és Kelecsényi röviden összefoglal[2]. Gödel azt bizonyította be, hogy akárhogy is állítunk fel egy axiómarendszert, mindig lesz benne eldönthetetlen állítás[3].

A matematikatörténet nagy kísérlete tehát félsikerrel zárult. Hatalmas eredményei mellett alapvető célkitűzését nem teljesen érte el. Nem tudjuk, hogy ellentmondásmentes-e a matematika. Eddig még senki nem talált ellentmondást. De nem tudjuk bebizonyítani, hogy ellentmondásmentes. Vagy valaki talál ellentmondást, vagy bizonytalanságban éljük le az életünket. Ha felfedeznénk ellentmondást, akkor újra kellene alkotni az axiómarendszert, és aztán reménykedhetünk abban, hogy ez már ellentmondásmentes lesz.

A fentiek nyomán érdemes újra elolvasni Ottlik tanulmányának elejét, ahol a regény mibenlétének nem-regényírói eszközökkel való vizsgálatának lehetetlenségéről ír, valamint arról, hogy mi a viszony a regény és a nyelv között. Matematikai műveltségét nemcsak felhasználja gondolatainak kifejezésére, nemcsak látványos párhuzamot próbál kiépíteni a matematikusok fáradozása és Kosztolányitól vagy ifj. Dylan Thomastól vett idézetek között; gondolatainak elmélyüléséhez az „erlangeni program” adhatott iránymutatást.

Számomra különösen figyelemreméltó Ottlik első lábjegyzete saját korábbi szövegéhez. Itt a nyelvet a fizika mechanisztikus-kauzális euklideszi-newtoni világmodelljéhez hasonlítja. Mit ért ezen a hasonlaton azon túl, amire egy rövid példa segítségével ebben a jegyzetben utal?

Az euklideszi geometria, amit iskolai tanulmányaink során tanulunk, 2300 éves. Szédületes teljesítményre volt képes: lehetővé tette a földmérést, a csillagászat művelését és mozgások időbeli lefolyásának ábrázolását. Hatalmas előrelépés volt, amikor Newton a mozgás leírására bevezette a folytonos függvényeket, és felállította a testre ható erő és a test gyorsulásának egyenes arányosságát kimondó törvényét (F=m*a). Ez a matematikai eszköztár azt teszi lehetővé, hogy egy test helyének, sebességének és a ráható erőknek ismeretében előre meghatározzuk, hogy bármely későbbi időpillanatban hol lesz, és hogyan mozog a test. És ha egy adott időpillanatban ismernénk minden test helyét és a közöttük ható erőket, akkor a világ bármelyik későbbi időpillanatára ki tudnánk számolni, hogy melyik test, részecske hol lesz, mi lesz a sebessége. Függetlenül attól, hogy számba tudjuk-e venni, hogy a világ összes alkotórészének mi a helye, sebessége, és milyen erők hatnak rá, Newton törvényei azt fejezik ki, hogy a világ jelenlegi állapotából levezethető bármely későbbi állapota. Vagyis minden előre meghatározott, minden kérdés már eldőlt. A newtoni fizika ráadásul a technikai fejlődés előmozdítása révén rendkívüli sikereket ért el, ami az újkori európai gondolkodás számára még inkább alátámasztotta a szigorú kauzalitás[4] világmodelljét. Ezért is jelent korszakos újdonságot a XX. század fizikája, mely a nagyon kis részecskék, és nagyon nagy sebességek vizsgálata során felfedezte, hogy itt már nem kielégítő a newtoni fizika és a szigorú kauzalitás sem áll fönn.

Ottlik első lábjegyzetében zseniálisnak nevezi, ahogy a nyelv lehetővé teszi a gondolkodást, de nem áll meg itt, hanem azt is felismeri, hogy a nyelv egyúttal meg is határozza, behatárolja a gondolkodást. A valóság leírásának éppen ezért nagyobb szabadságra van szüksége, mint amit a nyelv lehetővé tesz, ezért van szükség a költészetre, matematikára, művészetre.

Itt használja Ottlik az „algebrai struktúra”, majd később a „modell”, és az „izomorfia” kifejezéseket, amelyek a szövegösszefüggés révén hozzávetőleg érthetővé válnak, mégsem árt, ha a teljesség igénye nélkül kissé pontosabban megértjük őket, főleg, ha egy matematikus-író vetette őket papírra.

Fentebb már volt szó az axiómákról. Nem kell sok axióma ahhoz, hogy tételeket vezethessünk le. 4-5 jól megválasztott axiómával egy kis új világot nyithatunk meg. Ha csak az egész számokat tekintjük, és egyetlen műveletet vezetünk be, például a szorzást, akkor már van min gondolkodnunk. Ha bevezetjük az összeadás műveletét is, akkor már egy másfajta algebrai struktúrát kapunk. Egész számok helyett tekinthetünk szűkebb, vagy bővebb halmazt, például az 5-tel való osztás során keletkező maradékok halmazát (0, 1, 2, 3, 4), ami egy véges (példánkban ötelemű) halmaz, vagy az összes (egész és tört) számok végtelen halmazát. Algebrai struktúrán azt értjük, hogy veszünk egy számhalmazt, és értelmezünk egy vagy két műveletet, és vizsgáljuk ennek sajátosságait. Az algebra érdekes fantázianevekkel jelöli a különböző algebrai struktúrákat: csoport, gyűrű, vektortér, algebra, test, stb.

Az euklideszi geometriában léteznek az illeszkedési axiómák (pl.: két pontra egyetlen egyenes illeszkedik). Ha választunk 4 pontot a térben, akkor ezekre már alkalmazható a 6 illeszkedési axióma (egyenesnek itt a pontok egy kételemű részhalmazát érthetjük). Így kapjuk az axiómarendszer egy modelljét. A 6 illeszkedési axióma a sík, illetve a tér végtelen sok pontjára is alkalmazható; ez ugyanannak az axiómarendszernek egy másik modelljét alkotja. A két említett modell lényegesen különbözik egymástól, azaz nem izomorf. Ha nem a geometriában, hanem a számok között, vagyis az algebra területén mozgunk, akkor a művelet és annak tulajdonságai az axiómák. Ezt különböző számhalmazokra alkalmazhatom. Így is különféle modelleket kapok, melyek között találhatok izomorfakat is. Az axiómarendszer két modellje akkor izomorf, ha elemeiket úgy tudom párba állítani, hogy az egyik modellben elvégzett művelet ugyanazt az elemet eredményezze, mint a másik modellben a megfelelő elemek között elvégzett művelet.

Ottlik nagyon árnyaltan használja a „valóság” szót, valamint azt, hogy a költő, író mire is törekszik: a valóság megértésére, formai megragadására. Mindenesetre számára a regény nem a valóság bemutatása, nem is valóság tudatosítása, hanem modellek sorozata, mely közelebb visz a valósághoz. Ezeket az egymással összefüggésben lévő modelleket jelöli R0-lal, R1-gyel, Rr-rel, R alef-fel. Ahogy írja, van ebben játékosság. A matematikában a nagy R elsősorban a valós számok jelölésére szolgál és a valóságos (real) szót rövidíti.

A továbbiakban csak összefoglalom, hogy hozzávetőleg mit is jelölt Ottlik a különböző R-ekkel, hogyan képzeli el a valóság fokozatos megközelítését.

R0: a valóság szolipszista[5] modellje.

R1: a valóságról alkotott mindennapi elgondolás. Az emberiség általános felfogása arról, hogy mi a valóság.

Ralef, ugyanaz, mint az R2 , csak ez utóbbi jelölés egyszerűbb: elképzelt világ. A regény szereplői, eseményei sokszor egy elképzelt történet alkotóelemei, nem teljesen világos, hogy milyen összefüggésben vannak a valósággal.

Ez a három együttvéve az író saját maga, az őt körülvevő világ, és ennek egy elképzelt történetben, kitalált szereplőkkel való megjelenítése Ottlik szerint már majdnem, de azért mégsem elegendő egy regényhez. Mert szükség van még egy R-re.

Rr: a valóságnak vannak távlatai, a kibontakozás, az ismeretlen jövő, rend, világosság. Szép példát hoz erre Dickens regényeiből.  Aminek segítségével azt is alátámasztja, amit tanulmányának bevezető részében ír: „Nem a szó volt kezdetben, hanem a mondat, azt bontottuk fel mondatrészekre. Nem a mondat volt kezdetben, hanem a bekezdés, azt fejtettük ki mondatokban. Nem a bekezdés volt kezdetben, hanem a regény. A regényt már csak a hallgatás előzi meg.”

Ahogy Ottlik példákon keresztül világítja meg, hogy mit jelenthet az Rr , mi próbáljuk meg az Iskola a határon-ban megkeresni a különböző R-eket. Egy matematikus is ezt tenné, működtetni kezdené a modellt, amit alkotott, vagy példákkal illusztrálná a tételét.

R0: Bébé és Medve katonaiskolát megelőző kisgyermekkorát sorolnám ide, ahogy Medve várta az anyját, a fogdában a Veronika nevű szolgálólányra gondolva sírta magát álomba, Bébé az érkezése után hosszú ideig nem értett semmit abból a világból, ahová csöppent, Halász Petárral való elvesztett és újra meg nem talált barátságát.

R1: A regény tesz utalásokat arra, hogy a külvilág hogyan tekint a katonaiskolára. Kiderül ez a növendékeknek a szüleikkel való kapcsolatából, a szünidők történeteiből és abból a néhány utalásból, amit a növendékek megtudnak a tisztek magánéletéről. A növendékek egy része azért kerül az Iskolába, mert az apjuk meghalt a háborúban, itt ingyen tanulhat, szép pálya vár rá, úriember lesz belőle. A szünidőben moziba mennek, szüleik számára le kell fordítani civil nyelvre a katonai szakszavakat. Medve is ezt teszi a kéziratában, amikor kimenőköpeny, karabély, gyengélkedő, ismétlés és egyéb szavak helyett a rézgombos télikabát, puska, beteg, tanulás szavakat használja. És nem tudja lefordítani a tanszerláda kifejezést. Bébé a németórán elképzeli Ernst alezredest családja körében szeretetben élő nagypapaként, látják az intézet parancsnokát csinos feleségével, tudják, hol laknak a tisztek és altisztek.

R2: Ahogy a regény elbeszéli a növendékek életét az Iskolában, bemutatja a köztük kialakuló hatalmi struktúrát, ennek változásait, a tisztek személyiségét, három tanév eseményeit. Ahogy Ottlik mondja, ez már majdnem elég egy regényhez. Ahogy egy tízéves fiúcska a kisgyermek élete helyett a katonaélet körülményei közé kerül, valóban regénybe illő történet. De van a regénynek még egy rétege.

Rr: Az „Iskola a határon”-ban ez meglehetősen bőséges. Ide sorolnám Medve kéziratának elmélkedő részleteit, például a „Szegény barátaim, nekem tízezer lelkem van…”  kezdetűt. Valamint az események elbeszélését gyakran megszakító tépelődéseket, személyiségleírásokat. Továbbá a felnőtté válás, beilleszkedés, barátság és szabadság témákat, melyekről a regény nem feltétlenül ad összefüggő elméleteket, inkább a kérdésfölvetéseire érdemes figyelnünk.

Egy ember, aki különleges élethelyzeteket él át, könnyen gondolhatja azt, hogy maga a történet regénybeillő. Vagy aki filozofikus hajlamú ember, az események sorában született elméleteit veti papírra. Heinrich Böll írja: „életük története fontosabb a számukra, mint az életük”[6]. Ottlik a regényével a választ keresi a saját kérdéseire.

 

 

 



[1] Valójában a számok nem alapfogalmak; a valós számok axiómáiban jelenik meg a 0 és az 1; az pedig már bizonyítás tárgya, hogy a műveletek nyomán tőlük különböző számokat kapunk eredményül.

[2] Kelecsényi László: A szabadság enyhe mámora 195-197. old.

[3] Először is az axiómarendszer ellentmondásmentességét leíró, a formális logika szabályai szerint megfogalmazott állítás eldönthetetlen lesz.

[4] Okság; az anyagi világ jelenségei közötti azon szükségszerű összefüggés, hogy az egyik jelenség; az ok kiváltja a másikat, az okozatot.

[5] Szolipszizmus: a latin nyelv solus (egyedül) és ipse (én magam) szavaiból képzett összetett szó. A filozófiában azt a valóságmodellt jelenti, hogy csak én magam létezem, rajtam kívül semmi sincs. Mindent, amit észlelek, a tudatom képzeli el.

[6] Heinrich Böll: Valaminek történnie kell

P. Lukovits Milán OFM

OK
Hírek
FRANKA VETÉLKEDŐ
A FRANKA KÁPOLNÁI ÉS EGY TABLÓJA
300 éves évforduló
Frankában végzett papok, szerzetesek figyelmébe
Gimnáziumunkról a Kossuth Rádióban
Szent Antal Esték
Kákonyi Asztrik Kortárs Galéria Kiállítása
0

Ismerd meg az iskolát!

0

Facebook

0

Érettségi találkozó

Felvételi tájékoztató

0
All rights reserved © 2013.